第一章、函数极限连续

第一节、函数

1.函数定义：
设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个数x∈D，变量x按照一定的法则总有一个确定的数值y和它对应，则称y是x的函数，记为y=f(x)，x∈D，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域，记作D_f，既D_f=D。
函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作R_f，或f(D)，既R_f=f(D)={y|y=f(x),x∈D}。

注：函数有两个基本要素：定义域、对应规则（或依赖关系），当两个函数的定义域与对应规则完全相同时，他们就是同一函数。

2.复合函数：
设函数y=f(u)的定义域为D_f，函数u=g(x)的定义域为D_g，值域为R4，若D_f∩R_g≠∅，则称函数y=f[g(x)]为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数.它的定义域为{x|x∈D_g,g(x)∈D_f}.

注：不是任何两个函数都可以复合，如y=f(u)=㏑u和u=g(x)=sin x-1就不能复合，这是由于D_f=(0,+∞),R_g=D_f=(0,+∞),R_g=[-2,0],D_f,D_f∩R_g=∅.

3.反函数：
设函数y=f(x)的定义域为D，值域为R_y.若对任意y∈R_y的反函数。

注：（1）不是每个函数都有反函数，如y=x³没有反函数。
（2）单调函数一定有反函数，但反之则不然，如 :
$ f(x)=\left{
\begin{matrix}
x,0≤x<1,\
3-x,1≤x≤2
\end{matrix}
\right. $
有反函数，但不单调。
（3）有时也将y=f(x)的反函数x=$f$^-1(y)写成y=$f$^-1(x).在同一直角坐标系中，y=$f$(x)和x=$f$^-1(y)的图形重合，y=$f$(x)和y=$f$^-1(x)的图形关于支线y=x对称。
（4）$f$^-1[$f$(x)]=x,$f$[$f$^-1(x)]=x.

4.初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数统称为基本初等函数。
幂函数 $~~~~$ y=x^μ(μ为实数)

(1)幂函数y=x^μ的定义域和值域取决于μ的取值，当x>0时，y=x^μ都有定义。
(2)常见幂函数：y=x,y=x²,y=$\sqrt{x}$,y=$\sqrt[3]{x}$,y=$\frac{1}{2}$.

指数函数 $~~~~$ y=a^x(a>0,a≠1)

(1) 定义域：(-∞，+∞)，值域：(0,+∞).
(2)单调性：当a>1时，y=a^x单调增；当0<a<1时，y=a^x单调减.
(3)常见指数函数：y=e^x，单调增，$\lim_{x\rightarrow-\infty}{e^x}$=+∞,
$\lim_{x\rightarrow+\infty}{e^x}$=0.

对数函数 $~~~~$ y=$log_ax$(a>0,a≠1)

(1)定义域：(0,+∞)，值域：(-∞,+∞).
(2)单调性：当a>1时，y=$log_ax$单调增；当0<a<1时，y=$log_ax$单调减.
(3)常见对数函数：y=$lnx$,单调增，$\lim_{x\rightarrow0+}{lnx}$=-∞，$\lim_{x\rightarrow+\infty}{lnx}$=+∞

三角函数